ARTIGOS

www.artigocientifico.uol.com.br

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA

Antonio Miguel
Arlete de Jesus Brito

RESUMO: O objetivo deste artigo é contribuir para a reflexão em torno da questão
referente à participação da história da matemática na formação do professor de matemática.
Nele, apresentamos primeiramente nossa maneira de entender essa participação, qual seja,
intrinsecamente relacionada a todo o conhecimento específico que faz parte dessa
formação. Em seguida, procuramos também ilustrar essa tese aplicando-a a discussão dos
seguintes tópicos os quais acreditamos serem de crucial importância para a prática da
educação matemática contemporânea: a concepção da natureza dos objetos da matemática;
a função da abstração e da generalização; a noção de rigor e o papel da axiomatizaçao; a
maneira de se entender a organização do saber; os modos de se compreender a dimensão
estética da matemática; e a valorização da dimensão ético-politica da atividade matemática.

Palavras-chaves: educação matemática, história da matemática, formação de professores.

Gostaríamos, antes de qualquer coisa, de ressaltar que a discussão referente à
utilização da história na formação do professor de matemática não é recente.
Jones (1976, p.5), em um texto intitulado “Mathematics as a teaching tool’ , afirma que
“recomendações para a inclusão de algum estudo de história em programas de treinamento
de professores podem ser encontradas em vários estudos e relatórios de comitês de muitos
paises”. Diz ainda que “ um levantamento realizado por John A. Schumaker das tendências
na formação de professores de matemática para a escola secundária mostra que
porcentagem de instituições de formação de professores que ofereciam tal curso aumentou
de 44 para 52 durante o período de 1920/21 a 1957/58 ”. E que, “neste ultimo ano (1958),
tal curso foi incluído na formação de futuros professores de matemáticas em 12% das
instituições”. Jones acrescenta ainda que “K.A. Rybnikov, diretor do departamento de
Historia da Matemática e Mecânica da Universidade de Moscou, afirma que tal curso é
exigido de todos os professores de matemática daquele país”.
Ao longo das décadas de 60 e 70 – período em que, na educação matemática
ocidental, predomina a tendência do formalismo pedagógico-estrutural, mais conhecida
entre nós como movimento da matemática moderna - decresce significativamente o
interesse pelas abordagens históricas no ensino da matemática devido, entre outros fatores,
à adoção por parte dos diferentes grupos que se formaram visando a operacionalização do
ideário desse movimento, de uma concepção estruturalista da matemática e de uma
concepção quase sempre tecnicista do modo de organização do ensino. Não e casual,
portanto, que, talvez, a primeira e mais contundente crítica feita a esse movimento, ainda na
década de 70, tenha partido de Morris Kline,eminente professor de matemática do Instituto
Courant de Ciências Matemáticas da Universidade de Nova York, e um dos grandes
historiadores dessa ciência.
Na década de 80, com o refluxo desse movimento, assiste-se também a um
reavivamento do interesse pela historia e a tentativa explícita das suas potencialidades

pedagógicas. De fato, nos vários congressos internacionais de educação matemática
ocorridos a partir da década de 80, as discussões relativas as potencialidades pedagógicas
da historia começam a ganhar espaço.
Num desses congressos constituiu-se o HPM-Imternational Study Group on the Relations
Between History and Pedagogy of Mathematics, cujo ultimo encontro ocorreu em
Blumenau em julho de 1994.
Em nosso país essa discussão é mais recente. Em alguns eventos voltados para o
ensino de matemática essa problemática tem sido levantada. Por exemplo, no I Encontro
Paulista de Educação Matemática, realizado em outubro de 1989na cidade de Carapinas,
ocorreu uma atividade coordenada denominada “Aspectos Históricos no Processo de
Ensino-aprendizagem da Matemática”, na qual foi levantado o problema referente a função
do estudo da historia da matemática na formação do professor de matemática. Nessa
ocasião, os participantes dessa atividade destacaram a “lamentável ausência da disciplina
Historia da Matemática, quer na quase totalidade dos cursos de Magistérios” (Anais I Epem
1989, p.241). Entretanto, não deixaram de observar que “a inclusão de tal disciplina nos
cursos de formação de professores, por si só, não garantiria que a mesma se revertesse em
um instrumento de apoio a prática docente. Haveria necessidade de aprofundamento da
discussão relativa aos objetos que uma disciplina dessa natureza viria a cumprir na
formação do professor” (Anais I Epem 1989, p.241). Esses participantes constataram
também a “pequena oferta, para professores em exercício,de cursos de História da
Matemática que visem a construir referencial teórico para fundamentar a importância do
estudo da Historia pelo professor e sua utilização em sala de aula” (Anais I Epem 1989,
p.241). Essa problemática foi levantada também no Seminário Nacional de Historia da
Matemática realizado no Recife em abril de 1995 e nos IV e V Encontros Nacionais de
Educação Matemáticos (IV e V Enem), realizados, respectivamente, em Blumenau em
janeiro de 1992 e em Aracaju em julho de 1995.
Nossa intenção, aqui, não é retornar as discussões ocorridas nesses vários eventos,
mas detectar alguns elementos que possam, eventualmente, contribuir com a reflexão
acerca da participação da história da matemática na construção do conhecimento
matemático do futuro professor.
Não vamos, também, defender o ponto de vista de que a história da matemática
deva se constituir apenas em mais uma disciplina isolada das demais na formação do
professor da matemática, o que viria reforçar entre os futuros professores a indesejável
separação radical entre matemática e historia da matemática e a oposição entre o lógico e o
histórico. Ao contrário, defenderemos a tese de uma participação orgânica da história da
matemática nessa formação o que significa, primeiramente, a tentativa de se imprimir
historicidade às disciplinas de conteúdo específico. Porém, não se deve entender por isso
que se deva realizar uma sobreposição de abordagens, isto é, manter a abordagem lógico-
axiomática tal qual usualmente se apresenta uma teoria ao futuro professor, acrescentando-
lhe (antepondo ou diluindo ao longo de seu desenvolvimento) apenas algumas informações
históricas de natureza estritamente factual, encaradas como meros acessórios ou
ornamentos. Esse procedimento, além de sobrecarregar com novas informações factuais um
currículo já bastante sobrecarregado de informações, viria apenas reforçar aos olhos dos
futuros professores a superfluidade do elemento histórico, uma vez que ele aparece como
mera curiosidade que não participa de forma efetiva do processo de construção internada
própria teoria.
Contrariamente a esse procedimento, uma participação orgânica na história na
formação do professor, tal como a entendemos, conceberia a história como fonte de uma
problematização que deveria contemplar as várias dimensões da matemática (lógica,
epistemológica, ética, estética etc) e da educação matemática (psicológica, política,
axiológica, didático-metodológica etc), o que remeteria, inevitavelmente, os formadores de
professores a destacar e discutir com seus alunos as relações de influência recíproca entre
matemática e cultura, matemática e sociedade, matemática e tecnologia, matemática e arte,
matemática e filosofia da matemática etc., fazendo com que o discurso matemático abra-se
ao diálogo com os demais discursos que se constituem com ele, a partir dele, contra ele, a
favor dele etc. A finalidade dessa problematização é fazer com que o professor alcance um
metaconhecimento da matemática que lhe propicie a abertura de novos horizontes e
perspectivas.
Ainda que tenhamos consciência de que o fato de se tentar imprimir historicidade às
disciplinas de conteúdo matemático que fazem parte da formação do professor de
matemática não possa, por si só, e a curto prazo, alterar significativamente o estado em que
se encontra a educação matemática escolarizada, acreditamos que essa decisão é
fundamental e necessária. Por meio dela, o licenciado seria beneficiado, uma vez que lhe
seria dada a oportunidade de construir os seus conhecimentos de matemática dentro de uma
perspectiva histórica e sociocultural. Todos nós sabemos que, durante a sua formação, os
futuros professores de matemática recebem quantidades substanciais de informações
relativas às matemáticas chamadas superiores. Por outro lado, recebem pouca ou nenhuma
informação histórica sobre as origens e o desenvolvimento das teorias que estudam ou
sobre as motivações externas e internas que guiaram a criação e o desenvolvimento dessas
teorias. Não é apenas possível, mas também necessário, perguntar se esse caminho
unilateral e exclusivamente lógico-dedutivo de se ter acesso ao conhecimento é a maneira
mais adequada de se formar o professor de matemática. Será que a ênfase no rigor e nos
detalhes formais tornaria o professor mais bem preparado para a difícil tarefa de difundir e
tornar acessíveis à grande maioria da população algumas das mais significativas conquistas
desse campo do saber formando-a com base no relevante propósito social de faze-la
perceber a significação técnica, cultural, social e humana de que se reveste a matemática?
Não se trata, evidentemente, de substituir o rigor pela história ou de se contrapor a história
ao rigor, mas de mostrar que o rigor é também uma categoria histórica que, como todas as
outras, depende das condições e das possibilidades colocadas pelos diferentes contextos e
épocas, e de mostrar também que é possível restituir às teorias o pano de fundo de seu
desenvolvimento histórico e não, simplesmente, de apresenta-las dentro um quadro
axiomático estático.
A problematização com base na história pode contribuir para que o futuro professor
reflita sobre diferentes concepções que se tem de aspectos da atividade matemática e do seu
ensino. A título de ilustração discutiremos, a seguir, o modo como a participação orgânica
da história na formação do professor de matemática poderia vir a contribuir para uma
adequada compreensão de tópicos de crucial importância para a sua ação pedagógica, tais
como: a concepção da natureza dos objetos da matemática, a função da abstração e da
generalização, a noção de rigor e o papel da axiomatização, a maneira de se entender a
organização do saber, os modos de se compreender a dimensão estética da matemática e
valorização da dimensão ético – política da atividade matemática.
Concepção da natureza dos objetos da matemática
A problematização a partir da historia poderia contribuir para modificar as
representações que estudantes e futuros professores têm da matemática, contribuindo no
sentido de modificar a visão estática e unilateral que trazem consigo a respeito da naturezza
da matemática: do seu conteúdo, dos seus métodos, do seu significado, do seu alcance e dos
seus limites, fazendo-os perceber que a matemática se desenvolve não apenas através da
acumulação de resultados e conquistas, mas que passa também por mudanças qualitativas
que alteram profundamente o domínio dos objetos das investigações nesse terreno.
Aleksandrov et al.(1985,pp.17-89) fornecem-nos um exemplo de tal possibilidade.
Segundo eles, a matemática, ao longo de seu desenvolvimento histórico, teria passado por
quatro etapas qualitativamente distintas: a etapa da matemática prático-empírica, a etapa da
matemática das magnitudes constantes, a etapa da matemática das magnitudes variáveis e a
etapa da matemática abstrata ou moderna.
Na etapa da matemática pratico-empirica que se estendeu desde os tempos pré-
históricos até por volta do século V a.C., a matemática apresentava-se como uma coleção
de noções e regras isoladas obtidas diretamente da experiência, das necessidades da vida
diária e das técnicas de trabalho, sendo que a validade e a aceitação dessas regras
assentavam-se no simples fato de elas darem certo, isto é, de conseguirem realizar de forma
bem-sucedida os objetivos imediatos visados por tarefas praticas. Assim, se o objetivo era
produzir fogo, utilizando-se para isso de duas brocas incendiárias de madeira, foi-se
percebendo que o modo mais eficiente de se atingi-los exigia um posicionamento
percebendo que o modo mais eficiente de se de se atingi-lo exigia um posicionamento
perpendicular entre as brocas. Nessa mesma posição deveriam estar dispostos o arco e a
flecha para se atingir o alvo requerido de forma eficiente. Essa mesma posição entre placas
de casca de arvores e paus de armação mostravam-se também ideal quando se tinha por
meta a construção de abrigos contra o vento, de modo que a noção de perpendicularismo foi
sendo gradativamente construída a partir dessas e outras percepções de regularidade na
disposição espacial entre os instrumentos disponíveis para o atingimento de objetivos
práticos (CF. Gerdes 1987, pp.21-22). A etapa da matemática das magnitudes constantes,
que se estendeu desde o século V a.C. até por volta do século XVII, caracteriza-se pela
aparição da matemática como ciência teórica e pelo surgimento do método dedutivo e da
concepção axiomática da matemática. No decorrer dos três períodos que essa etapa
compreende – o período grego, o oriental e o do renascimento europeu -, tudo aquilo que se
hoje se insere no âmbito da matemática elementar, constituindo os seus quatro clássicos
territórios (aritmética, geometria, álgebra e trigonometria), atinge o seu máximo
desenvolvimento. Na etapa da matemática das magnitudes variáveis, que se estende desde o
século XVII até o XIX, novos e diversificados objetos de investigação – as geometrias
analítica e projetiva, o cálculo diferencial e integral, a teoria das séries, a teoria das
equações diferencias – passaram a fazer parte do domínio da matemática, em reposta aos
vários problemas colocados pelo desenvolvimento da mecânica, da física e da tecnologia.
Essa matemática qualitativamente distinta da anterior só o foi devido ao fato de ter
enfrentado com êxito os problemas deixados em aberto pela crise gerada pela descoberta
das grandezas incomensuráveis e pela crítica eleática que havia ficado sem reposta, de
modo que, na tentativa de salvar os fenômenos, a matemática grega acabou entrando num
beco sem saída ao optar por uma “incapacidade numérica” para resolver o problema da
incomensurabilidade, ao optar pela exclusão do conceito quantitativo de infinito dos
raciocínios matemáticos e, finalmente, ao optar pelo “abandono das concepções dinâmicas”
(Caraça 1978, p. 81). O êxito da matemática qualitativamente distinta dos séculos XVII e
XVIII consistiu em ter-se decidido pela segunda alternativa do dilema expresso nos
seguintes termos: “ou renunciar a compreender o movimento, a integrá-lo num quadro
racional interpretativo dos fenômenos naturais, ou ir para o seu estudo numa atitude de
espírito diferente, isto é, procurar obter uma teoria quantitativa, da qual resultem métodos
de cálculo que nos permitam fazer previsões, sujeitas ao teste da Experiência e da
Observação” (Caraça 1978, p.215). Essa opção, é claro, colocou aos matemáticos a tarefa
de produzir novos conceitos que pudessem dar conta da infinidade de estados possíveis
entre dois estados quaisquer. Foi o que fez a matemática das magnitudes variáveis ao
introduzir dentro de seu corpo os conceitos de variável, função e limite.
Finalmente, a etapa da matemática abstrata ou moderna, que se estende desde o
século XIX até os nossos dias, é a matemática que, através de um conjunto de percepções
às quais não podemos aqui nos referir, voluntariamente desobrigou-se do papel que lhe
havia sido imposto pela ciência e tecnologia da época moderna, de constituir-se num mero
instrumento de compreensão da realidade física, de modo que poderíamos, com
Aleksandrov et al. (198/5, p.89), caracterizar a matemática contemporânea como “ a
matemática de todas as possíveis relações e interdependências quantitativas entre
magnitudes”. Assistiu-se nessa etapa ao surgimento das geometrias não-euclidianas, da
teoria dos grupos, da noção de estrutura e da álgebra abstrata. Ela inclui também o
surgimento da crítica, da sistematização e da fundamentação da analise e a sistematização e
a hierarquização das diversas geometrias, alem, é claro, de outros desenvolvimentos mais
recentes.
Esse exemplo mostra-nos que apenas uma abordagem histórica possibilitaria ao
futuro professor perceber que não faz sentido a tentativa de captar e definir uma suposta
natureza essencial da matemática, uma vez que tal natureza provisória modifica-se através
dos tempos não apenas em função de pressões contextuais advindas da interferência de
outros setores do conhecimento humano, da cultura e da técnica, como também em função
de necessidades internas como, por exemplo, a tentativa de colocar os conhecimentos já
produzidos sobre bases mais sólidas. Em outras palavras, apenas uma abordagem histórica
poderia fazer o futuro professor entender que “qualquer concepção filosófica da matemática
é um modelo da matemática real, e como a matemática muda, esses modelos,
necessariamente, também mudarão” (Barabashev 1988, p511). Alem disso, é a percepção,
por parte dos futuros professores, dessas mudanças qualitativas no objeto e nos objetivos da
investigação matemática que lhes permitiria entender uma das razoes pelas quais a
matemática, “uma das mais antigas e mais seriamente estabelecidas de todas as ciências,
não tenha encontrado, ao longo de seus 26 séculos de historia, paradigmas de transmissão
estáveis e inquestionáveis” (Guzman 1983.p.14).Isso se deve, segundo
Guzman, não apenas ao fato de os objetivos da educação variarem de geração a geração e
de um grupo cultural a outro, mas também ao fato de ser a matemática “uma atividade de
cem faces”, isto é, “uma atividade eminentemente polivalente”.
A função da abstração e da generalização
A historia poderia auxiliar os futuros professores a perceber que o movimento de
abstração e generalização crescentes por que passam muitos conceitos e teorias em
matemática não se deve, exclusivamente, a razões de ordem lógica, mas à interferência de
outros discursos na constituição e no desenvolvimento do discurso matemático.
Nesse sentido, poderíamos citar o caso das sucessivas reinterpretações da
trigonometria motivadas pela percepção de que o antigo corpo de conhecimentos
trigonométricos, quando adequadamente estendido, poderia constituir-se num instrumento
útil para o enfrentamento de problemas colocados à matemática por outros campos dos
saber. De fato, enquanto a trigonometria foi vista apenas como um instrumento para o
agrimensor, e suas leis identificadas apenas como leis da agrimensura, a palavra seno só
podia ser entendida e definida como a razão entre o lado oposto a um ângulo agudo e a
hipotenusa de um triângulo retângulo. Mais tarde, quando a astronomia grega, que cocebia
os planetas movendo-se em órbitas circulares ao redor do sol, mostrou ser necessária a
determinação dos comprimentos das cordas desses círculos-órbitas em função dos
comprimentos dos arcos a elas correspondentes, percebeu-se que a trigonometria poderia
ser levada da terra ao céu e ser vista também como um instrumento para o astrônomo e, em
decorrência disso, apalavra seno passou a ser entendida e definida como, a razão entre a
ordenada do raio vetor determinado por um ângulo central. Porem, quando a física, a partir
do século XVII, resolveu incorporar ao domínio da ciência o problema do movimento,
abrindo novos campos de investigação tais como o estudo das cordas vibrantes, dos
impulsos elétricos, das ondas de radio, das ondas sonoras e luminosas e, em decorrência
disso, revelou à matemática a necessidade de se fornecer subsídios conceituais à pesquisa
quantitativa relacionada com as funções periódicas, percebeu-se que a trigonometria
poderia presta-se igualmente bem essa tarefa, e a palavra seno passa a ser definida, de
modo funcional e dinâmico, como a ordenada de um ponto que se movimenta sobre uma
circunferência de raio unitário. Esse trajeto percorrido pelo conceito de seno em particular,
e pelas funções trigometricas em geral, passando sucessivamente de instrumento do
agrimensor a instrumento do astrônomo e do físico, apresentou, porem, um limite, atingido
a partir do momento em que ele se converte em um instrumento do matemático. A
característica fundamental dessa ultima etapa do processo de generalização e abstração
ascendente consiste no desligamento das funções trigonométricas das idéias de triangulo,
circulo e razoes e de sua redução a conjuntos de pares ordenados de números através de
artifícios como o de resumir séries infinitas. Nessa ultima etapa de seu itinerário histórico, o
seno é definido, então, como o limite de uma série infinita correspondente a um número
complexo substituído nessa serie (Cf. Jones 1969; Watanabe 1980, pp 69-77)
A noção de rigor e o papel da axiomatizaçao
É esperado que, ao entrarem na universidade, os futuros professores de matemática
tomem contato com os padrões atualizados de rigor, aprendendo a utilizá-los de modo
adequado, e compreendam a necessidade de se empreender a axiomatizaçao de determinado
campo da matemática. Quanto a isso não há discordâncias.
O problema é que, freqüentemente, ao final do curso, o futuro professor considera o
rigor como sendo algo independente do tempo e do espaço. Ou seja, os cursos de formação
de professores de matemática não têm, em sua maioria, fornecido instrumentos para o
docente lidar com uma das grandes dificuldades encontradas na pratica profissional, qual
seja, o trabalho de iniciação no rigor matemático nos ensinos fundamental e médio.
Tal iniciação, para a maioria dos professores desses níveis de ensino, ocorre com o
estudo das demonstrações de teoremas da geometria euclidiana.
Artigue (1990, pp. 243-44) observa:
No mundo do ensino, a entrada no rigor matemático é simbolizada pela entrada no
universo da geometria demonstrativa , e a referencia implícita ou explicita à geometria
grega ligada a esta representação contribui para veicular e reforçar esta ficção de um
rigor fora do tempo e do espaço.
Que essa maneira de se entender o rigor é improlífica para a docência no ensino
fundamental e médio, prova-se através da não-aprendizagem de teoremas da geometria por
parte dos estudantes e da repulsa que muitos deles sentem para com essa paret da
matemática.
Diante do fracasso, alguns professores começam a questionar a existência de um
único padrão de rigor a ser promovido em todas as séries do ensino, que seja independente
das especificidades de cada uma delas. Perguntam-se também se a introdução no rigor
matemático deveria restringir-se ao âmbito do ensino da geometria, isto é, se não haveria
outras maneiras de iniciar os alunos no rigor matemático.
As observações expostas, a seguir, levam-nos a crer que, imprimindo historicidade
às disciplinas que fazem parte da formação desses professores, mostrando que os padrões
de rigor alteram-se no decorrer do tempo e fornecendo exemplos interessantes para a
compreensão do significado da axiomatizaçao, poderemos ajudar os futuros docentes a ter
uma visão mais ampla do que sejam rigor e sistemas axiomáticos, facilitando-lhes a
percepção de caminhos a serem seguidos na superação da referida dificuldade presente no
processo de ensino-aprendizagem.
A análise feita por Grabiner (1974) com relação às mudanças ocorridas nos padrões
de rigor durante os séculos XVIII e XIX leva-nos a perceber a dinâmica interna desses
padrões na matemática.
Segundo Grabiner, a preocupação dos matemáticos em relação aos diferentes
aspectos da atividade matemática muda no decorrer do tempo. Assim, por exemplo, no
século XVIII, a atenção no calculo diferencial e integral estava voltada à procura de novos
resultados e não ao rigor, ou à busca de fundamentos para esse campo em constituição, pois
havia uma crença de que, depois de um certo acúmulo de fatos isolados, a razão conseguiria
fundamentá-lo devidamente. No inicio do século XIX, devido a uma conjunção de fatores,
entre os quais estão os problemas surgidos com o ensino do cálculo, a preocupação dos
matemáticos incidiu sobre o rigor. Isto é, em um determinado momento da história do
cálculo “ocorreu uma rejeição da matemática de técnicas frutíferas e de novos resultados
em favor da matemática de definições claras e provas rigorosas” (Grabiner, 1974).
Nesse exemplo vemos que a importância dada ao rigor altera-se no decorrer do
tempo. Porém, a própria concepção de rigor também sofre mudanças. Até o início do século
XIX, a axiomática exposta nos ELEMENTOS, apesar das controvérsias relativas ao quinto
postulado, ditava os padrões de rigor. Com o advento das geometrias não-euclidianas, a
obra euclidiana foi questionada e buscaram-se novos padrões de rigor.
Portanto, se dentro da matemática existe uma alteração tanto nos padrões de rigor
quanto na importância dada a eles, por que, nos níveis fundamental e médio de ensino,
devemos ter como padrão de rigor somente o atual? Esta seria uma questão interessante de
ser analisada em um curso de licenciatura em matemática, uma vez que há um conjunto de
perguntas colocadas pelo cotidiano pedagógico, cujas respostas reportam-se a discussões de
natureza lógica, as quais podem ser conduzidas a partir de uma abordagem histórica.
Segundo Jones (1969, pp. 2-3),
Os porquês lógicos podem parecer independente da história da
matemática, mas atualmente a historia contribui muito para desenvolver os
insights lógicos dos estudantes. Os porquês lógicos incluem a compreensão da
natureza de um sistema axiomático bem como o raciocínio lógico e as provas que
revestem o esqueleto axiomático com teoremas. É importante que nossos alunos possam
compreender esta estrutura, mas para muitos tópicos o desenvolvimento direto e mínimo
dos axiomas e das provas não é o mesmo caminho pelo qual essas idéias foram desenvolvidas
historicamente, nem o caminho pelo qual elas brotam na mente de muitos de nossos
alunos. (...) A abordagem histórica nem sempre é o melhor caminho para comunicar
esses insights. Mas ela pode freqüentemente ajudar muito
São muitos difundidas as falas sobre as dificuldades que os alunos apresentam em
transferir o conhecimento adquirido em um determinado momento para outro processo de
aprendizagem. Isso sem falar da não-tranferência dos conceitos estudados em matemática
para outras áreas do conhecimento ou para aplicações práticas.
Parece que, para o aluno, aquilo que lhe é ensinado na escola não tem relação
alguma com o que acontece fora dela e, na própria escola, os discursos e as práticas das
diferentes áreas do conhecimento são incomunicáveis.
Podemos nos colocar as seguintes perguntas: até que ponto a visão fragmentada que
o aluno tem da matemática não é reflexo ou mesmo conseqüência da maneira como nós
professores de matemática representamos esse campo do saber? Nós conseguimos perceber
a dialética de recuos e avanços no desenvolvimento de um conceito ou teoria? Nós
conseguimos relacionar diferentes campos da matemática? Nós temos clareza do modo
como as práticas sociopolítico-econômicas podem interferir na produção da matemática e
como essa produção interfere naquelas práticas? Temos idéia de algumas aplicações de
conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento? Como essas aplicações são
possíveis? Estas são perguntas que deverão ser enfrentadas se quisermos superar a
fragmentação do saber que tem sido um entrave histórico à realização de um ensino
significativo da matemática elementar. Não há duvida de que nossa formação universitária,
com poucas exceções, reforça essa fragmentação do saber.
A participação orgânica da historia da matemática na formação do professor pode
ajudar a ultrapassar essa problemática tanto por possibilitar a explicitação de momentos nos
quais a natureza qualitativa e quantitativa da produção matemática modificou-se em função
dos problemas colocadas por outras áreas (um exemplo nos é fornecido pelos inícios da
geometria projetiva), quanto por facilitar a compreensão do conceito de “modelo” e
possibilitar a verificação de alguns casos de utilização de modelos matemáticos na
aplicação de conceitos de outras áreas (podemos, como exemplo, citar a utilização das
funções trigonométricas nos fenômenos periódicos, tais como cordas vibrantes, ondas de
rádio etc.) Tal participação pode também contribuir para analise de como os discursos d e
outras áreas do saber (filosofia, arte, religião etc.) relacionam-se com o discurso
matemático. Ou seja, pelo estudo da matemática do passado, podemos perceber como a
matemática de hoje insere-se na produção cultural humana e alcançar uma compreensão
mais significativa de seu papel, de seus conceitos e de suas teorias, uma vez que a
matemática do passado e a atual engendram-se e fundamentam-se mutuamente.
Grabiner (1975, p.443) compartilha de nosso ponto de vista como mostra a seguinte
passagem:
A abordagem histórica pode ajudar o estudante – ou matemático – a
verificar como a matemática se ajusta ao resto do pensamento humano; como
Descartes, o matemático, se relaciona com Descartes, o filósofo; como
o aparecimento da matemática alemã na metade do século XIX
se ajusta ao surgimento da ciência, da tecnologia e do poder nacional alemães
naquela época. Entender a matemática passada em seu contexto histórico ajuda
a compreender a matemática atual em seu contexto filosófico, cientifico e social
e também a ter uma melhor compreensão do lugar da matemática no mundo.
Não devemos considerar, porem, os problemas e as motivações colocados por outras
áreas como os únicos com poder de levar a matemática ao desenvolvimento. Necessidades
estritamente internas também geram a produção e a aplicação de teorias, isto é , a
curiosidade estritamente intelectual , ou seja, a pergunta “ o que aconteceria se ...” entra
com o mesmo peso dos fatores externos como determinante nos momentos de criação
matemática. Segundo Fernandes (1992, p. 97) “não apenas a produção, a economia e a vida
espiritual da sociedade podem criar as necessidades, mas também o próprio
desenvolvimento interno da matemática. Isto é, o desenvolvimento do conhecimento
matemático é em si mesmo, uma necessidade social”.
De posse de uma visão relacional da dinâmica de mudanças que ocorrem na
matemática, o futuro professor poderá, em suas aulas, criar situações que levem os
estudantes dos ensinos fundamental e médio a reconsiderar o lugar da matemática no
conjunto do conhecimento humano.
Modos de compreender a dimensão estética da matemática
Durante o tempo de universidade, alguns licenciandos acabam por adquirir o gosto
pelo encadeamento de raciocínios lógico-formais presentes em uma matemática sem
referencias a aplicações práticas. Para estes, não existiria algo mais belo do que uma
demonstração engenhosa. Nesse contexto, as demonstrações consideradas mais simples ou
mais concisas são normalmente classificadas como “esteticamente mais perfeita”.
Entre matemáticos, há uma preocupação com o matematicamente belo e uma crença
no parentesco entre matemática e arte explicitada por muitas falas.
Vejamos, pois, alguns exemplos:
Jones (1969, p.10) afirma que “a geometria não-euclidiana nasceu da curiosidade
intelectual sem referencia a aplicações praticas. Nesse sentido ela se assemelha a uma arte”.
Huntley (1985, p. 15), no livro A divina proporção, assevera que o tema dessa obra
é a apreciação estética da matemática. Citando Poincaré, escreve: “O matemático não
estuda a matemática pura porque ela seja útil, ele a estuda porque deleita-se com ela, e
deleita-se com ela porque é bela”.
Ao lermos estes comentários acerca da beleza em matemática pode parecer-nos que
há um consenso sobre o que ela seja.
Se a situação fosse realmente essa, os matemáticos teriam resolvido um problema
com o qual a estética há séculos, debate-se, qual seja, o que é o belo.
Essa área da filosofia tem refletido a divergência do que tem sido considerado belo em
diferentes momentos históricos. Basta lembrarmos das concepções de belo para o
Racionalismo do século XVI, para o Empirismo inglês do século XVIII e para o
Cristicismo de Kant. Para o primeiro, o belo era a obra que buscava a universalidade
fundamentada na razão; para o segundo, era o que despertava a simpatia subjetiva; e para o
terceiro, aquilo que agradava ao senso comum (algo como um senso transcendental do
individuo).
A dimensão estética da matemática também esta longe de ser algo compreensível e
perceptível por todos os estudantes desse campo do saber. Portanto, aquele consenso
apresentado inicialmente se desfaz num oceano de desencontros. O que a maioria dos
matemáticos entende por belo não e percebido da mesma maneira pelos alunos dos ensinos
fundamental e médio. As demonstrações consideradas mais ‘simples’ pelos matemáticos
podem ser as mais destoantes com o raciocínio desses alunos, quer devido ao fato de essas
demonstrações lhes parecerem inacessíveis à compreensão, quer por faltar a essas
demonstrações o poder de persuasão necessário para adquirirem o estatuto de provas
pedagógicas.
Imprimir historicidade às disciplinas específicas do curso de licenciatura pode levar
o futuro professor de matemática a refletir sobre a questão de a beleza em matemática estar
ou não ligada à livre criação de uma suposta mente incondicionada por quaisquer
necessidades sociais ou particularmente orientada por problemas configurados em outras
áreas do saber. Segundo Jones (1969, p.9), “esta visão da matemática certamente não foi
compartilhada pelos antigos egípcios, oi babilônicos, nem mesmo pelos pitagóricos”.
Acreditamos, portanto, que a historia da matemática pode fazer com que o futuro
professor perceba a existência de outros padrões de beleza em matemática, alem do usual,
tornando, desse modo, mais significativo a interação de seus alunos com a matemática.
A história pode também propiciar ao professor uma reflexão sobre a beleza
existente no ato da criação matemática levando-o a entender a dimensão estética da
matemática em um outro sentido mais fundamental, fazendo com que a educação
matemática venha a contribuir para a obtenção daquilo que a nosso ver, deveria constituir o
propósito mais revolucionário da educação contemporânea: o cultivo da imaginação. A
partir dessa reflexão, os professores de matemática poderiam buscar situações nas quais os
alunos dos ensinos fundamental e médio fossem estimulados a criar matemática.
Huntley (1985, p. 16) faz a seguinte afirmação à possibilidade de criação da
matemática pelos estudantes: “A apreciação da beleza mal se distingue do ato da criação
No momento da apreciação reeditamos o ato criador e nós mesmos fazemos a descoberta
novamente”.
A valorização da dimensão ético-política da atividade matemática
A dimensão ético-política da atividade matemática tem sido pouco explorada nos
cursos de licenciatura em matemática, Podemos considerar que tal fato deve-se a traição
positivista de considerar a atividade matemática como politicamente neutra.
Upinsky (1985) analisa a utilização política e social da matemática e conclui que
esta utilização é feita com intuito de legitimar meios de exploração econômica e discrição
social.
A participação orgânica da história na formação do professor pode ajudá-lo a
verificar como e por que a matemática constitui-se num espaço expressão do poder. Por
exemplo, são bem conhecidas as histórias sobre o pitagórico Hipasus que teria sido morto
“afogado pelos deuses” ao divulgar a descoberta da existência de grandezas
incomensuráveis; ou sobre toda a celeuma em torno do cálculo diferencial integral entre
Newton e Leibniz; ou mesmo sobre o fato de Gauss não ter publicado seus trabalhos de
geometrias não-euclidianas com medo da “gritaria dos beócios”.
Esses exemplos mostram-nos como a atividade matemática sempre esteve mais do
que apenas “perturbada” por questões de natureza ético-política. A nosso ver, essas
questões não deveriam ser encaradas como curiosas e episódicas, mas constitutivas da
atividade matemática e, em alguns momentos, até mesmo definidoras dos rumos dessa
atividade e dos seus movimentos de avanço, recuo e estagnação.
Hoje, podemos pensar na dimensão ético-política da matemática em dois sentidos.
Um deles é o das aplicações – estatísticas eleitorais, aquelas utilizadas pelo marketing;
fórmulas de aplicação à economia etc. A despreocupação com essa dimensão no ensino
elementar tem feito com que várias pessoas não consigam exercer minimamente seu papel
de cidadãs na sociedade, por não compreender os mecanismos de exploração camuflados
por determinados usos da racionalidade matemática.
O outro sentido que podemos apontar é o da utilização da matemática como
instrumento de exclusão de muitos alunos do processo de aprendizagem. O discurso
matemático continua sendo um segredo acessível somente para alguns “iluminados”.
Foucault (1977) já apontava que o discurso não apenas traduz as lutas pelo poder,
mas que também é uma forma de poder pela qual se luta. É importante que os alunos dos
ensinos fundamental e médio tenham acesso a uma compreensão significativa dessa forma
de poder que é o discurso matemático.
O professor, em sua formação, deve ter possibilitadas reflexões sobre em que
sentido o discurso da matemática impõe-se como uma forma de poder. Acreditamos que a
história da matemática pode ser uma fonte de situações que o levem a essa reflexão.
Bibliografia
ALEKSANDROV, A D. et al La matemática: Su contenido, métodos y significados.
Madri Alianza Universidad, 1985, vol I
ARTIGUE, M. “ Epistemologie e didactique”.RDM no.23. 1990, vol 10
BARABASHEV, A. “Empiricism as a historical phenomenon of philosophy of
mathematics. Revue Intenationale de Phylosophie no. 167. 1988, pp. 509-517, vol
42
BRITO, A.J. “Geometrias não-euclidianas: Um estudo histórico-pedagógico”
Dissertação de mestrado, Campinas, FE-Unicamp,1995
CARAÇA, B.J. Conceitos fundamentais da matemática 7a.ed, Lisboa, Gráfica Manuel ,
A.Pacheco Ltda,1978.
FERNANDES, C.S. “Glosas de una concepción humanista. Dialética y materialista de la
matematica” Bolema Especial no. 2 Rio Claro. Unesp, 1992
FOUCAULT, M. Vigiar e punir: Nascimento da prisão. Rio de Janeiro , Vozes 1977
GERDES P. “ Sobre o despertar do pensamento geométrico” Tese de doutorado,
Moçambique, Universidade Eduardo Mondlane, 1987
GRABINER,J.V.”Is mathematics truth time-dependent?”. The American Mathematical
Monthly. Abril 1974
___________,”The mathematicians , the historian, and the history of
mathemathics”.Historia Mathematica no.2. 1975, pp.439-447
GUZMAN.M.”Cuestiones fundamentales sobre la enseñanza de la matematica “Actas das
primeras jornadas andaluzas de profesores de matematica”Cadiz, 1983
HUNTLEY, H.E Divina proporção. Brasília, Editora da UnB,1985
JONES, P.” The history of mathematics as a teaching tool” Historical topics for thge
mathematics classroom. Wasington, D.C., NCTM, 1969
MIGUEL,A “Três estudos sobre história e educação matemática” tese de doutorado,
Campinas , FE – Unicamp, 1993
UPINSKY,A.A. A perversão matemática: O olho do poder. Rio de Janeiro, Francisco
Alves, 1989
WATANABE, R.G trigonometria – Subsídios para a implementação da proposta curricular
de matemática para o segundo grau. São Paulo, Secretaria de Estado da Educação,
Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas, pp. 69-77 vol 1.